\frac{\partial {\bf f}}{\partial {\bf u}}({\bf u}), &= = 1 \times 13 + 2 \times 21 \] f({e_2})=\left( 1 & 0 & \cdots & 0 \\ <> 1 & 2 \\ = 7 & 8 5 \\

z_{1} & z_{2} & z_{3} \right)&=&\left(

\] 『AˆB』,『x2Aならx2B』,『x=2Bならx=2A』 3. \right) 0 \\ x_1 & x_2 1 & 2

\frac{d g_2}{d x} (x) \end{bmatrix}\\ 1 & 2 \\ \right) =\begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ ɹ x_{1} \\ &\left( 3\right) \ \left( {\bf A}{\bf B}{\bf C} \right)^{\rm T} = {\bf C}^{\rm T}{\bf B}^{\rm T}{\bf A}^{\rm T} \end{bmatrix}\end{split}\], \[{\bf z}=\begin{bmatrix} 1 + 4 \\ 5x_2 & 5x_1 endobj \begin{bmatrix} a_1 \\ �\ ^~ \right) \\ a_{21} \\ 1 & 2 \\ となります.ここで線形写像$f$を${x}$に作用させてみましょう.$f$の線形性をフル活用します. \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} ったときは、「行列」という言葉を再度思い浮かべて、「行→列」つまり先にくる \(N\) が行数で、\(M\) が列数だ、と思い出すのがおすすめです。, 文献によっては単位行列ではなく、すべての成分が1の行列のことをunit matrixと呼ぶこともあります。. {\bf b}^{\rm T}{\bf x} &= 合成関数の微分(多変数バージョン), ニューラルネットワークの基礎, ディープラーニング入門:Chainer チュートリアル, The Matrix Calculus You Need For Deep Learning.

x_1a_{11}+x_2a_{12}+\cdots+x_na_{1n} \\ a_{22} \\

のように,実数を$n$個並べたものです., 「写像」は,実数以外にも値をとる関数のことと考えてもらえばいいです.ここでは,$n$項数ベクトルを1つ与えると,$m$項数ベクトルを1つ返す関数という意味です.$f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$とは,「$f$は$\mathbb{R}^nから\mathbb{R}^m$への写像である.」という意味です., $f(x)=ax$により定まる写像$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$は線形写像である., \[f(x+y)=a(x+y)=ax+ay=f(x)+f(y)\]なので条件(1)は成り立っています.\[f(kx)=akx=kax=kf(x)\]なので条件(2)も成り立っています.したがって,$f(x)=ax$は線形写像であるといえます.(当たり前に思えるかもしれませんが,このように定義を一つ一つ確かめることは数学の学習で非常に重要です.), $f(x)=ax+b(b \neq 0)$で定まる写像は線形写像ではない.(条件を確かめて証明してみましょう), $f(x_1,x_2)=(2x_1+3x_2, x_1+2x_2)$で定まる写像は線形写像である.(これも証明してみましょう), $f(x)=(2x, 3x), g(x,y)=(x+y, 2x+y, x)$とするとき,$h(x)=g(f(x))$で定まる写像$h:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$は線形写像である., 1. \right) \;\; \end{array} \begin{array}{c} \end{bmatrix} \\ 線形代数の基礎¶. 19 & 22 \\

14 & 16 & 18 \[\left(\begin{array}{c} www.momoyama-usagi.com 1.写像とは. \end{array} The website is released under the 3-Clause BSD License. \end{array} \right)+x_2\left( \frac{\partial}{\partial {\bf x}} \left( {\bf b}^{\rm T}{\bf x} \right) \begin{bmatrix} \end{bmatrix}

{\bf b} \begin{bmatrix}g_1(x_1, \ldots, x_M) \\ \vdots \\ g_N(x_1, \ldots, x_M)\end{bmatrix}\end{split}\], \[\begin{split}{\bf f}'(x) = \begin{bmatrix} f'_1(x) \\ \vdots \\ f'_N(x) \end{bmatrix}\end{split}\], \[\begin{split}\frac{d}{dx} {\bf f} (x) = \begin{bmatrix} \frac{d}{dx}f_1(x) \\ \vdots \\ \frac{d}{dx}f_N(x) \end{bmatrix}\end{split}\], \[\begin{split}\frac{\partial {\bf g}}{\partial {\bf x}}({\bf x}) = 9 & 12 =\begin{bmatrix} \frac{\partial {\bf g}}{\partial {\bf x}}({\bf x})\], \[\begin{split}{\bf x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}, 1 \times 5 + 2 \times 6 \\ 7 \\ \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x_2} \left( 3x_1 + 4x_2 \right) \end{bmatrix}\end{split}\], \[\begin{split}\begin{align*} \vdots \\

\end{aligned}\end{split}\], \[\begin{split}{\bf x} た だしA;Bは集合とする.

\end{bmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial u_1} & \frac{\partial f_1}{\partial u_2} & \frac{\partial f_1}{\partial u_3} & \frac{\partial f_1}{\partial u_4}\\

5 \\ \begin{array}{c} のちにより抽象的な「ベクトル」の概念を導入しますが,ひとまずは親しみやすい,数を並べたベクトルに関して考えることにします.線形写像の定義は以下です., $n$項数ベクトル空間$\mathbb{R}^n$から$m$項数ベクトル空間$\mathbb{R}^m$への写像 The website is released under the 3-Clause BSD License. \[{e_1}=\left( 2 \\

\begin{bmatrix} &\left( 1\right)

0 & 0 ラージセンサーカメラ. 練習問題5. <> a_{21} \\ \begin{array}{c}

=\begin{bmatrix} \] 今回は線形代数における重要な分野として線形写像についてのまとめを書きました。線形写像はどんなものなのか、表現行列はどうやって求めるのか、基底によって表現行列がどのように変わるのかをまと … 0 5 \times 3 + 6 \times 1 &\left( 3 \right) \ \frac{\partial}{\partial {\bf x}} \left( {\bf x}^{\rm T}{\bf A}{\bf x} \right) = {\bf x}^{\rm T} \left( {\bf A} + {\bf A}^{\rm T} \right) \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\

このように、何かしらの値 を入れるととある規則に沿って何かしらの値 を返すものを関数と呼びます。. 1 & 2 \\ と表すことができます.さらにこの${x}$を標準基底に分解してみると, \begin{array}{cccc} &\left( 1 \right) \ \frac{\partial}{\partial {\bf x}} \left( c \right) = {\bf 0} \\ x_1a_{m1}+x_2a_{m2}+\cdots+x_na_{mn}

{\bf y}=\begin{bmatrix}

x_1 x_2 \\ \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_{2} \\ 0 3 & 4 x_2 3x_1 + 4x_2 0 \\ 13 \\ \begin{array}{c} 7 & 8 \end{eqnarray*} x_1a_{21}+x_2a_{22}+\cdots+x_na_{2n} \\ 0 & 0 & u_4 & u_3 x_{1} \\ \begin{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \right)\\ (48MB), 三菱 業務用・産業用換気送風機 技術資料 \end{bmatrix}, \ &=

エクセルなどからコピーして貼り付けて検索する場合などに便利です。, 比較できる現行品は49製品以内となります。比較する製品を選んで「比較する」ボタンを押してください。 \begin{array}{c} f(\overrightarrow{OA_2}) = f(f(\overrightarrow{OA_1})) = \overrightarrow{OA_1} 第5 章 数ベクトル空間と線形写像 5.1 線形写像と行列 例題5.1.1 (定義5.1) 数ベクトル空間R3 とR2 に対して, F 0 @ x1 x2 x3 1 A = µ x1 x2 ¶ で定義される写像F: R3! fs-5ta3 希望小売価格:32,200円(税別) 発売日:2015年04月20日 主な機能・仕様 ・風量が40%~100%の間で3段階(5種類の電圧から任意の3電圧を選ぶ)に制御可能 ・風量を調節することにより、強風量不要時の低騒音化を実現 \end{bmatrix}\end{split}\], \[\begin{split}{\bf AB} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \end{array} \begin{bmatrix} 1Nxf��;FM�S�е��B���'�> となります. \end{array}

\frac{\partial {\bf f}({\bf g}({\bf x}))}{\partial {\bf x}} 0 \\ f(\overrightarrow{OA_i}) = \overrightarrow{OA_j},\ f(f(\overrightarrow{OA_i})) = \overrightarrow{OA_i} \ \mbox{(任意の\(i\)について)} \[\left( 1 \vdots \\ x_{n}

3x_1 + 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \vdots \\ 0 & 1

f(\overrightarrow{OA_1}) = \overrightarrow{OA_2} \end{bmatrix}\end{split}\], \[\begin{split}\begin{aligned} 4 & 5 & 6

3 & 0 \\ 1 & 2 \\

\[ \end{array} &= \frac{\partial}{\partial x_1} \left( 3x_1 \right) u_4x_2 & u_4x_1 {x}=\left( a_n

x_{1} \\ \end{align*}\end{split}\], \[\begin{split}\begin{align*} \vdots \\ これらは『 … \vdots \\ x_n \\ \end{array} \begin{bmatrix} h'(x) &= \frac{\partial g_{N}}{\partial {x_1}}({\bf x}) & \cdots & \frac{\partial g_{N}}{\partial {x_M}}({\bf x}) PXW-FS7 1511(5,550KB) ラージセンサーカメラ サイトマップ. \right)$と求まる., この,「行列を使って線形写像を表現できる」という点に,行列を使う利点が凝縮されています.線形写像という扱いにくいものを,行列の和や積を使ってあたかも数のように扱うことができます. &=

1 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{2} \right) \\ x_{2} \\ \] \[ 4+10 & 5+11 & 6+12 \end{eqnarray*} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ x_{21} & x_{22} \\ 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1

&= 最後のベクトルは,次のように行列とベクトルの積の形に書くことができます. \end{bmatrix}\\ \vdots \\ 1 \\

\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{\partial g_2}{\partial x_1} & \frac{\partial g_2}{\partial x_2} \\ \begin{array}{c}

2 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} $f\Biggl(\left(\begin{array}{c} a_{1n} \\ 0 & 2 \\ a_{2n} \\ \begin{bmatrix}

2u_3x_2 & 4u_2 + 2u_3x_1 \\ 10 * 2 \\ &=&x_1\left( {\bf B} = \begin{bmatrix} All rights reserved. x_1 + 2x_2 \\ \begin{bmatrix} 0 & 0 u_3 \\ &= VENICE; F65RS; FX9; FS7 II; FS5 II; PMW-F55; PMW-F5; PXW-FS7/PXW-FS7K; ラージセンサーカメラ アクセサリー. 39 \begin{bmatrix} endstream 3 \times 3 + 4 \times 1 \\ 5 * 1 + 6 * 3 & 5 * 2 + 6 * 4 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

&=& A{x} \begin{bmatrix} \right)\;\;\cdots\;\; \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \end{aligned}\end{split}\], \[\begin{split}\begin{aligned} 10 * 1 \\ 3 \\ &= \] \frac{\partial g_{1}}{\partial {x_1}}({\bf x}) & \cdots & \frac{\partial g_{1}}{\partial {x_M}}({\bf x}) \\

今回は線形代数の重要な概念の1つである線形写像(線形変換)について3回にわけてまとめていきたいと思います。, 例えば という関数とします。この関数に を入れると は3に、 を入れると は5になりますね。, このように、何かしらの値 を入れるととある規則に沿って何かしらの値 を返すものを関数と呼びます。, 関数の上位互換バージョンに写像があります。写像は、集合 の各要素に対して、集合 の要素がただ1つ対応している関係を表します。言い換えると、写像は集合 の要素を入れると集合 の要素を1つ返す魔法の箱といえますね。, 写像について(線形写像ではない)のもっと詳しい説明を見たい人は、こちらの記事をご覧ください。, 線形写像は写像のベクトルバージョンで、ルールに従ってベクトルの要素や次元を変える魔法の箱です。, しかし、線形写像には、ベクトル空間からベクトル空間において、つぎの条件を満たしていなければなりません。, ベクトル空間 からベクトル空間 への写像 を考える。 の任意のベクトル , 、任意の実数 において次の2つの条件が成立するとき、 を から への線形写像と呼ぶ。, 足し算の分離ができる\[f( \vec{x} + \vec{y} ) = f(\vec{x}) + f(\vec{y}) \], 定数倍の分離ができる\[f( k \vec{x} ) = k f(\vec{x}) \], また、同じベクトル空間同士(ベクトル空間 から )への変換を特に線形変換と呼びます。, 線形写像の中でも、ベクトル空間 からベクトル空間 への写像 、つまり写像 によってベクトルの次元が変化しないときは線形変換と呼ばれる。, (1) \[ f \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \end{array} \right)  = \left( \begin{array}{ccc} 2x-3y \\  -x+2y \end{array} \right) \], (2) \[ f \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \end{array} \right)  = \left( \begin{array}{ccc} x^2 \\  x+y \end{array} \right) \], (3) \[ f \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \end{array} \right)  = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \end{array} \right) \], (4) \[ f \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \end{array} \right)  = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \end{array} \right) \], 行列を用いて表すと、\[\left( \begin{array}{ccc} 2 & -3 \\  -1 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 2x-3y \\  -x+2y \end{array} \right)\]となる。ここで、\[f( \vec{x} + \vec{y}) = A( \vec{x} + \vec{y}) = A \vec{x} + A \vec{y} \\f\vec{x} + f\vec{y} = A \vec{x} + A \vec{y} \]となるので、\[f( \vec{x} + \vec{y}) = f\vec{x} + f\vec{y} \]が成立する。, また、\[f(k \vec{x}) = A(k \vec{x}) = kA \vec{x} \\k f(\vec{x}) = kA \vec{x}\]となるので\[f(k \vec{x}) = k f(\vec{x})\]も成立する。, よって、線形写像である。(線形写像であるものはこのように行列を用いて示すことができます。), \[ \vec{x} = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\  0 \end{array} \right) \]とする。, \[ f(2 \vec{x}) = f \left( \begin{array}{ccc} 2 \\  0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 4\\  2 \end{array} \right) \\ 2 f ( \vec{x} ) = 2 f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\  0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 2 \\  2 \end{array} \right) \]となり、\[f(k \vec{x}) = k f(\vec{x})\]を満たさない例があるため、線形写像ではない。, 行列を用いて表すと、\[\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 \\  0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\  0 \end{array} \right)\]となる。, \[ f(2 \vec{x}) = f \left( \begin{array}{ccc} 2 \\  2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \end{array} \right) \\ 2 f ( \vec{x} ) = 2 f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 2 \\  2 \end{array} \right) \]となり、\[f(k \vec{x}) = k f(\vec{x})\]を満たさない例があるため、線形写像ではない。, 線形写像は入れたベクトルによって別のベクトルが出てくる魔法の箱と先ほど説明しましたね。, 先ほど線形写像の条件を2つ説明しました。この2つの条件により、魔法の箱でかかる魔法(つまり写像)を行列を用いて表すことができるようになります。, 線形写像 は行列 を用いて、\[f(\vec{x} ) = A \vec{x}\]と表すことができます。, なので、変換元、変換先がともに標準基底であるかそうでないかの2パターンにわけて表現行列の求め方を説明していきたいと思います。, ※問題文で特に基底の指示が書かれていない場合、変換元も変換先も標準基底同士で写像を適用するものだと思ってください。, 例えば \[f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right)  \\ f \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right) \]という線形写像 があるとします。, このとき、それぞれのベクトルは2次元標準基底\[\vec{e_1} = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array} \right) \ \ \ \vec{e_2} = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \end{array} \right) \]および3次元標準基底\[\vec{g_1} = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \ \ \ \vec{g_2} = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \ \ \\vec{g_3} = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \]を用いて、\[f \left( \vec{e_1} \right) = 2 \vec{g_1} - \vec{g_2} + \vec{g_3} \\f \left( \vec{e_2} \right) = \vec{g_1} + 2\vec{g_2} - \vec{g_3} \]と表せます。これを行列を用いて書くと、\[\begin{align*}\left( \ f \left( \vec{e_1} \right), f \left( \vec{e_2} \right) \right) & = \left( \vec{g_1}, \vec{g_2}, \vec{g_3} \right) \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ -1 & 2 \\ 3 & -1 \end{array} \right)\\ & =  \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ -1 & 2 \\ 3 & -1 \end{array} \right)\end{align*} \]と表すことができますね。, つまり、変換元も変換先も標準基底同士の場合は標準基底が移る先がそのまま表現行列になることがわかりますね。, 標準基底 , , …, で与えられる 次元ベクトル空間から同じく標準基底を取る 次元ベクトル空間()への線形写像 による移り先が\[ f( \vec{e_1}) = \vec{a_1}, \ \ f( \vec{e_2}) = \vec{a_2} \ \  \cdots  \ \ f( \vec{e_n}) = \vec{a_n} \]であるとき、表現行列 は\[ \begin{align*}A & = \left( f(\vec{e_1}), f(\vec{e_2}), \cdots , f(\vec{e_n}) \right)\\ & = \left( \vec{a_1}, \vec{a_2}, \cdots , \vec{a_n} \right)\end{align*} \]となる。, では標準基底同士という前提を取っ払いましょう。標準基底ではない場合、一旦標準基底に直してから写像を適応させ、元の基底に戻する必要があるため、計算がややこしくなります。, 先程と同じ \[f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right)  \\ f \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right) \]という線形写像 があるとします。, このとき、それぞれのベクトルの2次元の基底が、\[\vec{p_1} = \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ -1 \end{array} \right) \ \ \ \vec{p_2} = \left( \begin{array}{ccc} -1 \\ 1 \end{array} \right) \]および3次元の基底が、\[\vec{q_1} = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array} \right) \ \ \ \vec{q_2} = \left( \begin{array}{ccc} -1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right) \ \ \\vec{q_3} = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right) \]のときの表現行列の求め方を考えてみましょう。, まずは、\[ \begin{align*}f (\vec{p_1}) & = 2 \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \end{array} \right)  \\ & = 2 \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{ccc} 3 \\ -4 \\ -5 \end{array} \right) \end{align*} \]\[ \begin{align*}f (\vec{p_2}) & = - \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \end{array} \right)  \\ & = - \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{ccc} -1 \\ -1 \\ -4 \end{array} \right) \end{align*} \]となります。, 標準基底から基底 , , …, に変換するためには、\[\left( \vec{q_1}, \vec{q_2}, \cdots , \vec{q_m} \right)^{-1}  \left( f(\vec{p_1}), f(\vec{p_2}), \cdots , f(\vec{p_n}) \right)\]と計算する必要があります。, 基底 , , …, をとる 次元ベクトル空間から基底 , , …, を取る 次元ベクトル空間()への線形写像 の表現行列 は基底行列\[P =\left( \vec{p_1}, \vec{p_2}, \cdots , \vec{p_n} \right) \\Q = \left( \vec{q_1}, \vec{q_2}, \cdots , \vec{q_m} \right)\]および標準基底における表現行列 を用いて、\[ \left( f(\vec{p_1}), f(\vec{p_2}), \cdots , f(\vec{p_n}) \right)=  QB \\B =Q^{-1}\left( f(\vec{p_1}), f(\vec{p_2}), \cdots , f(\vec{p_n}) \right) \\B = Q^{-1} A P \]となる*1。, ベクトル空間が標準基底でない場合の表現行列 の求め方を図示すると、以下のようになります。, このように標準基底ではない場合、一旦標準基底に直してから写像 を適用させる必要があります。(行列の計算順序に気をつけてください。右側から順に適応していきます(, , なので、\[ B = Q^{-1} AP \] と), から  への線形写像 が\[f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 1 \end{array} \right) \ \ \ f \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} -1 \\ 3 \end{array} \right) \ \ \ f \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -2 \end{array} \right)\]を満たすとする。(1)〜(3)の問いに答えなさい。, (1) の表現行列を求めなさい。(2) \[ f \left( \begin{array}{ccc} 3 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) \]を求めなさい。(3) \[ f \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \end{array} \right) \]を求めなさい。, , , をそれぞれ\[\vec{e_1} = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \ \ \\vec{e_2} = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \ \ \\vec{e_3} = \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)\]とする。表現行列は, \[ A = \left( f( \vec{e_1}), f( \vec{e_2} ), f( \vec{e_3} ) \right) = \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \end{array} \right) \]となる。, \[ \begin{align*}f \left( \begin{array}{ccc} 3 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) = & \ A \left( \begin{array}{ccc} 3 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) \\ = & \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 3 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) \\ = & \left( \begin{array}{ccc} 7 \\ 4 \end{array} \right) \end{align*} \], \[ \begin{align*}f \left( \begin{array}{ccc} 3 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) = & \ f \left( 3 \vec{e_1} + 3 \vec{e_2} + 4 \vec{e_3} \right)\\ = & \ 3 f ( \vec{e_1} ) + 3 f ( \vec{e_2} ) +  4 f ( \vec{e_3} )\\ = & \ 3 \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 1 \end{array} \right) + 3 \left( \begin{array}{ccc} -1 \\ \ 3 \end{array} \right) + 4 \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -2 \end{array} \right)\\ = & \left( \begin{array}{ccc} 7 \\ 4 \end{array} \right)\end{align*} \], (1)で求めた表現行列を使う。\[ \begin{align*}f \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \end{array} \right) = & \ A \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \end{array} \right) \\ = & \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \end{array} \right) \\ = & \left( \begin{array}{ccc} 2x-y+z \\ x+3y-2z \end{array} \right) \end{align*} \]となる。, \[ \begin{align*}f \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \\ z \end{array} \right) = & \ f \left( x \vec{e_1} + y \vec{e_2} + z \vec{e_3} \right)\\ = & \ x f ( \vec{e_1} ) + y f  ( \vec{e_2} ) +  z f ( \vec{e_3} )\\ = & \ x \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 1 \end{array} \right) + y \left( \begin{array}{ccc} -1 \\ \ 3 \end{array} \right) + z \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -2 \end{array} \right)\\ = & \left( \begin{array}{ccc} 2x - y + z \\ x + 3y - 2z \end{array} \right)\end{align*} \], から  への線形写像 が\[f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \\ -3  \end{array} \right) \ \ \ f \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 5 \\ 1 \\ -3 \end{array} \right)\]を満たすとする。(1),(2)の問いに答えなさい。, (1) \[ f \left( \begin{array}{ccc} 3 \\ 3 \end{array} \right) \]の値を求めなさい。(2)  の表現行列を求めなさい。, つぎの から  への線形変換 がある。\[f \left( \begin{array}{ccc} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 5x+y \\ 2x+4y \end{array} \right)\](1)〜(3)の問いに答えなさい。, (1) 標準基底に関する の表現行列 を求めなさい。(2) 基底 , から基底 , の線形変換 の表現行列 を求めなさい。\[\vec{p_1} = \left( \begin{array}{ccc} 4 \\ 1 \end{array} \right) \ \ \ \vec{p_2} = \left( \begin{array}{ccc} 5 \\ 2 \end{array} \right) \ \ \ \vec{q_1} = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \end{array} \right) \ \ \ \vec{q_2} = \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 1 \end{array} \right)\](3) 基底 , 同士の線形変換 の表現行列 を求めなさい。\[\vec{p_1} = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -2 \end{array} \right) \ \ \ \vec{p_2} = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \end{array} \right) \], (1) \[ \begin{align*}f \left( \begin{array}{ccc} 3 \\ 3 \end{array} \right)= & f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \end{array} \right) + f \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 1 \end{array} \right) \\ = & \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \\ -3  \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 5 \\ 1 \\ -3 \end{array} \right) \\ = & \left( \begin{array}{ccc} 6 \\ 3 \\ -6 \end{array} \right)\end{align*} \], (2) \[\begin{align*}f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \end{array} \right) & = \frac{1}{3} \ f \left( \begin{array}{ccc} 3 \\ 3 \end{array} \right)\\ & = \frac{1}{3} \left( \begin{array}{ccc} 6 \\ 3 \\ -6 \end{array} \right)\\ & = \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 1 \\ -2 \end{array} \right)\end{align*} \]なので、\[\begin{align*}f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array} \right) & =   f \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 1 \end{array} \right) - f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{ccc} 5 \\ 1 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 1 \\ -2 \end{array} \right)\\ & = \left( \begin{array}{ccc} 3 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right)\end{align*}\]\[\begin{align*}f \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \end{array} \right) & =   f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \end{array} \right) - f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \\ -3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 1 \\ -2 \end{array} \right)\\ & = \left( \begin{array}{ccc} -1 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right)\end{align*}\]となる。よって表現行列は、\[\left( f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array} \right), f \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \end{array} \right)  \right) = \left( \begin{array}{ccc} 3 & -1 \\ 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{array} \right)\]と求められる。, \[ \begin{align*}  \left( f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \end{array} \right), f \left( \begin{array}{ccc} 2 \\ 1 \end{array} \right)  \right)  & =  \left( f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array} \right), f \left( \begin{array}{ccc} 0\\ 1 \end{array} \right)  \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right)\\ & = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 5 \\ 2 & 1 \\ -3 & -3 \end{array} \right)\end{align*} \]と変形できるので、\[\begin{align*}\left( f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array} \right), f \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \end{array} \right)  \right) & = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 5 \\ 2 & 1 \\ -3 & -3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right)^{-1}\\ & = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 5 \\ 2 & 1 \\ -3 & -3 \end{array} \right) \cdot \frac{1}{3} \left( \begin{array}{ccc} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{array} \right)\\ & = \left( \begin{array}{ccc} 3 & -1 \\ 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{array} \right)\end{align*}\]と変形して表現行列を出すのもOK。, (1) \[f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 5 \\ 2 \end{array} \right) \ \ \ f \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 4 \end{array} \right)\]なので、表現行列は、\[\left( f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array} \right), f \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \end{array} \right)  \right) = \left( \begin{array}{ccc} 5 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} \right)\]となる。, 定義式の , の係数に注目する。すると、\[A = \left( \begin{array}{ccc} 5 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} \right)\]となることがわかる。, (2) \[f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 21 \\ 12 \end{array} \right) \ \ \ f \left( \begin{array}{ccc} 27 \\ 18 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 5 \\ 2 \end{array} \right)\]なので、表現行列は\[\begin{align*}\left( f \left( \begin{array}{ccc} 4 \\ 1 \end{array} \right), f \left( \begin{array}{ccc} 5 \\ 2 \end{array} \right)  \right)  & =  \left( \begin{array}{ccc} 5 & 6 \\ 11 & 8 \end{array} \right)\\ & = \left( \vec{q_1}, \vec{q_2} \right) B\\ & = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} \right) B\end{align*}\]となる。, よって表現行列 は、\[\begin{align*}B = & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{ccc} 21 & 27 \\ 12 & 18 \end{array} \right)\\ = & \left( \begin{array}{ccc} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc}21 & 27 \\ 12 & 18 \end{array} \right)\\ = & \left( \begin{array}{ccc} 3 & 9 \\ 9 & 9 \end{array} \right)\end{align*}\]と計算できる。, 基底行列をそれぞれ\[P = \left( \vec{p_1}, \vec{p_2} \right) \ \ \ Q = \left( \vec{q_1}, \vec{q_2} \right)\]とし、標準基底の表現行列 を用いると基底 , から基底 , における表現行列 は、\[\begin{align*}B & = Q^{-1} A P\\ & = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} \right)^{-1}  \left( \begin{array}{ccc} 5 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 4 & 5 \\ 1 & 2 \end{array} \right)\\ & = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 9 \\ 9 & 9 \end{array} \right)\end{align*}\]と計算できる。, (3) \[f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 3 \\ -6 \end{array} \right) \ \ \ f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 6 \\ 6 \end{array} \right)\]なので、表現行列は\[\begin{align*}\left( f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ -2 \end{array} \right), f \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \end{array} \right)  \right)  & =  \left( \begin{array}{ccc} 3 & 6 \\ -6 & 6 \end{array} \right)\\ & = \left( \vec{p_1}, \vec{p_2} \right) B\\ & = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{array} \right) C\end{align*}\]となる。, よって表現行列 は、\[\begin{align*}C = & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{ccc} 3 & 6 \\ -6 & 6 \end{array} \right)\\ = & \frac{1}{3} \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 3 & 6 \\ -6 & 6 \end{array} \right)\\ = & \left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 \\ 0 & 6 \end{array} \right)\end{align*}\]と計算できる。, 基底行列をそれぞれ\[P = \left( \vec{p_1}, \vec{p_2} \right)\]とし、標準基底の表現行列 を用いると基底 , から基底 , における表現行列 は、\[\begin{align*}C & = P^{-1} A P\\ & =\left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{array} \right)^{-1}  \left( \begin{array}{ccc} 5 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{array} \right)\\ & = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 \\ 0 & 6 \end{array} \right)\end{align*}\]と計算できる。, 標準基底同士の場合は標準基底の行き先を並べたものがそのまま表現行列に、標準基底同士ではない場合は、一旦標準基底になおして、写像を適用し、再びもとに戻した結果が表現行列になることを頭に入れておきましょう。, 次回は線形写像における合成写像・逆変換(逆写像)についてまとめていきたいと思います。, *1: の部分は、 なので、\[\begin{align*} &\left( f(\vec{p_1}), f(\vec{p_2}), \cdots , f(\vec{p_n}) \right) \\ = &\left( A(\vec{p_1}), A(\vec{p_2}), \cdots , A(\vec{p_n}) \right) \\ = &A \left( (\vec{p_1}), (\vec{p_2}), \cdots , (\vec{p_n}) \right) \\ = &AP\end{align*} \]と計算できる。, 数学と情報が得意な大学生です。数学科目と情報科目をわかりやすく説明するブログを作っています!.
となり、頂点\(A_2\)は頂点\(A_1\)に写る事が分かる。, さらに、まだ名付けられていない頂点の1つを\(A_3\)と名付け、それが\(f\)によって移る先を\(A_4\)と名付けると、同様の議論によって \vdots \\

\end{bmatrix} \\ \[ x_1 \\ 1 & 2 \\ \begin{array}{c} \end{array} {\bf f}({\bf u}) = \right)\;\;\cdots\;\; &=& \left(

&= \frac{\partial}{\partial x_2} \left( 3x_1 \right) \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ a_{m1} \end{bmatrix} [別売]その他部材 \begin{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} &= \frac{\partial}{\partial {\bf x}} \left( 3x_1 + 4x_2 \right) \\ 3 & 0 \\ x_2 3 & 4

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